Question

2．已知点P为△ABC所在的平面内一点，且$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PA}$=-1，则△ABC的面积为（　　）

• A． $\frac{5\sqrt{3}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$得到P为重心，由$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PA}$，得到P又为垂心，得到三角形为等边三角形，根据$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-1以及向量的数量积公式和解直角三角形得到边长为$\sqrt{6}$，即可求出三角形的面积．

解答 解：∵$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，则$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=-$\overrightarrow{PC}$，
由平行四边形法则，得CP延长交AB于中点，
同理，BP延长交AC于中点，∴P为重心；
∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PA}$，∴$\overrightarrow{PB}$（$\overrightarrow{PA}$-$\overrightarrow{PC}$）=0，
即PB⊥AC，同理PC⊥AB，∴P又为垂心，
∴三角形ABC为等边三角形，
∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-1，
∴|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|cos120°=-1，
∴|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|=$\sqrt{2}$，
∴|AB|=2|AP|cos30°=$\sqrt{6}$
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$\sqrt{6}$）²=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查两向量的数量积的运算，以及两向量的和、垂直的条件，考查三角形的重心和垂心，考查基本的运算能力，属于中档题．