Question

设椭圆的左、右顶点分别为、，离心率．过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）求动点C的轨迹E的方程；
（3）设直线MN过椭圆的右焦点与椭圆相交于M、N两点，且，求直线MN的方程.

Answer 1

（1）;(2) ;(3)或.

试题分析：（1）要求椭圆的方程,就要知道a,b,由点A知道a=,由离心率可求得c,由a²=b²+c²进而求出b=1;(2)求动点的轨迹方程,首先设，，利用用C点表示P点坐标,,代入椭圆方程,从而得到动点C的轨迹;(3)直线MN被椭圆截得的弦长,直线MN斜率分两种情况,斜率存在和斜率不存在,斜率不存在是,直线MN方程为x="1," ,舍掉,斜率存在式,设直线MN的方程为，联立直线和椭圆方程,利用根与系数关系和可以求出k.
试题解析：（1）由题意可得，，，
∴，
∴，
∴椭圆的方程为．
（2）设，，由题意得，即，
又，代入得，即,
即动点的轨迹的方程为．
（3） 若直线MN的斜率不存在，则方程为，所以,
∴直线MN的斜率存在，设为k，直线MN的方程为，
由，得,
∵，
∴,
设M ，则
∴，
即，
解得.
故直线MN的方程为或.