Question

已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，若右焦点到直线的距离为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在斜率为，且过定点的直线，使与椭圆交于两个不同的点，且？若存在，求出直线的方程;若不存在,请说明理由．

 

Answer 1

（1） （2）不存在

【解析】

试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式：计算一元二次方程根．第四步：写出根与系数的关系．第五步：根据题设条件求解问题中结论．

试题解析：（I）依题意可设椭圆方程为 ，则右焦点，

由题设：，解得：，

故所求椭圆的方程为．

（II）设存在直线符合题意，直线方程为，代入椭圆方程得：

，

设，为弦的中点，则

由韦达定理得：，

，

因为

不符合，所以不存在直线符合题意．

考点：(1)椭圆的方程； （2）直线与椭圆的综合问题．