Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x²+y²-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（　　）

• A、

  x2

  5

  -

  y2

  4

  =1
• B、

  x2

  42

  -

  y2

  52

  =1
• C、

  x2

  32

  -

  y2

  62

  =1
• D、

  x2

  62

  -

  y2

  32

  =1

Answer 1

分析：由题意因为圆C：x²+y²-6x+5=0把它变成圆的标准方程知其圆心为（3，0），利用双曲线的右焦点为圆C的圆心及双曲线的标准方程建立a，b的方程．再利用双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x²+y²-6x+5=0相切，建立另一个a，b的方程．

解答：解：因为圆C：x²+y²-6x+5=0?（x-3）²+y²=4，由此知道圆心C（3，0），圆的半径为2，又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心而双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），∴a²+b²=9①又双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x²+y²-6x+5=0相切，而双曲线的渐近线方程为：y=±

b

a

x?bx±ay=0，∴

|3b|

a2+b2

=2    ②  连接①②得

b=2 a2=5

所以双曲线的方程为：

x2

5

-

y2

4

=1，
故选A．

点评：此题重点考查了直线与圆相切的等价条件，还考查了双曲线及圆的标准方程及利用方程的思想进行解题．