Question

7．（1）已知a²ⁿ=$\sqrt{2}$+1，求$\frac{{a}^{3n}+{a}^{-3n}}{{a}^{n}+{a}^{-n}}$的值；
（2）若a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=x${\;}^{\frac{1}{2}}$，x＞0，求$\frac{x-2+\sqrt{{x}^{2}-4x}}{x-2-\sqrt{{x}^{2}-4x}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由a²ⁿ=$\sqrt{2}$+1，可得a^-2n=$\sqrt{2}$-1．利用立方和公式可得：$\frac{{a}^{3n}+{a}^{-3n}}{{a}^{n}+{a}^{-n}}$=a²ⁿ-1+a^-2n，代入即可得出．
（2）由a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=x${\;}^{\frac{1}{2}}$，x＞0，可得x=$（{a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$=a+a^-1+2，于是x-2=a+a^-1，（x-2）²=（a+a^-1）²=a²+a^-2+2，x²-4x=a²+a^-2+2-4=（a-a^-1）²，代入对a分类讨论即可得出．

解答 解：（1）∵a²ⁿ=$\sqrt{2}$+1，∴a^-2n=$\sqrt{2}$-1．
∴$\frac{{a}^{3n}+{a}^{-3n}}{{a}^{n}+{a}^{-n}}$=a²ⁿ-1+a^-2n=（$\sqrt{2}$+1）-1+（$\sqrt{2}$-1）=2$\sqrt{2}$-1．
（2）∵a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=x${\;}^{\frac{1}{2}}$，x＞0，
∴x=$（{a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$=a+a^-1+2，
∴x-2=a+a^-1，
∴（x-2）²=（a+a^-1）²=a²+a^-2+2，
∴x²-4x=a²+a^-2+2-4=（a-a^-1）²，
∴$\frac{x-2+\sqrt{{x}^{2}-4x}}{x-2-\sqrt{{x}^{2}-4x}}$=$\frac{a+{a}^{-1}+|a-{a}^{-1}|}{a+{a}^{-1}-|a-{a}^{-1}|}$=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}，a≥1}\\{{a}^{-2}，0＜a＜1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了乘法公式的应用、根式的运算性质、绝对值的意义，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．