Question

17．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（x，1）
（1）若＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞为锐角，求x的范围；
（2）当（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）时，求x的值．

Answer 1

分析 （1）由于＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞为锐角，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=x+2＞0，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不共线，即2x-1≠0．解出即可．
（2）由（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），可得（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=$2{\overrightarrow{a}}^{2}$-$2{\overrightarrow{b}}^{2}$+3$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，再利用数量积运算性质、模的计算公式即可得出．

解答 解：（1）∵＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞为锐角，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=x+2＞0，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不共线，即2x-1≠0．
解得x＞-2，且$x≠\frac{1}{2}$．
∴x的范围是{x|x＞-2，且$x≠\frac{1}{2}$}．
（2）∵（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），
∴（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=$2{\overrightarrow{a}}^{2}$-$2{\overrightarrow{b}}^{2}$+3$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，
∵$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{5}$，$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{{x}^{2}+1}$，
∴2×5-2×（x²+1）+3（x+2）=0，
化为2x²-3x-14=0，
解得x=-2或$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查了数量积运算性质、模的计算公式、向量夹角公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．