Question

【题目】设数列的前项和为，且（），设（），数列的前项和.

（1）求、、的值；

（2）利用“归纳—猜想—证明”求出的通项公式；

（3）求数列的通项公式.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）（）；（3）.

【解析】

（1）先代，求得，当时，根据，化简得到与的递推式，

再代，求得，并为求第（2）问提供基础;

（2）由（1）归纳猜想，并用数学归纳法证明；

（3）由（2）求得的，求出，并化简，分析，发现可用裂项相消法求解，

考虑消去方便，可对分奇数和偶数两种情况分析，最后合并得到答案.

解：（1）由，令，则，得，

当时，由，得，得，

令，得，令，得，即，，.

（2）由（1）知，，，猜想，

下面用数学归纳法证明：① 当 时，由猜想知显然成立；

②假设猜想成立，即，

则当时，由（1）有，

即当时，猜想也成立.

综合①②可知，猜想成立，即

（3）由（2）知，当时，，

综合知：，又，

则

当为偶数时，

当为奇数时，

综上可得