Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数在上的单调性；

（2）证明： 且.

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）见解析.

【解析】试题分析：

（1）求导数后令可得，根据与的大小关系可得在区间上的符号，从而可确定函数的单调性．（2）分两部分证明．（ⅰ）时，则，可证得，两边同乘以后可得；（ⅱ）令 ，利用导数可得，从而，故结论得证．

试题解析：

（1）解：∵，

∴．

令，得，

①当，即时，

则，

在上单调递增；

②当，即时，

令，得；令，得.

在上单调递减，在上单调递增．

综上，当时， 在上单调递增；

当时， 在上单调递减，在上单调递增．

（2）证明:

先证．

当时， ，

由（1）可得当时， ， 单调递减；

当时， ， 单调递增．

∴，

，

.

再证．

设 ，

则 ，当且仅当时取等号．

设 ，

则，

∴当时， ， 单调递增；

令，得时， ， 单调递减．

.

，

又此不等式中两个等号的成立条件不同，故，

从而得证.

综上可得且．