Question

【题目】已知函数.

（1）当，时，求满足的的值；

（2）若函数是定义在上的奇函数.

①存在，使得不等式有解，求实数的取值范围；

②若函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值.

Answer 1

【答案】(1);(2)①;②.

【解析】分析：（1）把，代入，求解即可得答案.

（2）①函数是定义在上的奇函数，得，代入原函数求解得的值，判断函数为单调性，由函数的单调性可得的取值范围.

②由，求得函数，代入，化简后得恒成立，令，，参数分离得在时恒成立，由基本不等即可求得的最大值.

详解：解：（1）因为，，所以，

化简得，解得（舍）或，

所以.

（2）因为是奇函数，所以，所以，

化简变形得：，

要使上式对任意的成立，则且，

解得：或，因为的定义域是，所以舍去，

所以，，所以.

①

对任意，，有：，

因为，所以，所以，

因此在上递增，

因为，所以，

即在时有解，

当时，，所以.

②因为，所以，

所以，

不等式恒成立，即，

令，，则在时恒成立，

因为，由基本不等式可得：，当且仅当时，等号成立，

所以，则实数的最大值为.

奇偶性	单调性	转化不等式
奇函数	区间上单调递增
	区间上单调递减
偶函数	对称区间上左减右增
	对称区间上左增右减