题目内容
设ω=cos
+isin
，则以ω，ω3，ω7，ω9为根的方程是（ ）
| π |
| 5 |
| π |
| 5 |
分析：根据题目给出的ω，可求得其5次方为1，所以ω=cos
+isin
是x5+1=0的一个虚根，而方程x5+1=（x+1）（x4-x3+x2-x+1）=0的另外四个根就是ω，ω3，ω7，ω9
| π |
| 5 |
| π |
| 5 |
解答：解：因为ω=cos
+isin
，所以ω5+1=(cos
+isin
)5+1=cosπ+isinπ+1=0，
所以ω=cos
+isin
是方程x5+1=0的一个根，
因为-1=cosπ+isinπ，
则-1的5次方根为coc
+isin
（k=0，1，2，3，4），
当k=0时为ω，当k=1时为ω3，当k=3时为ω7，当k=4时为ω9，
而x5+1=（x+1）（x4-x3+x2-x+1）=0，
故ω，ω3，ω7，ω9 都是方程x4-x3+x2-x+1=0．
故选B．
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| π |
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所以ω=cos
| π |
| 5 |
| π |
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因为-1=cosπ+isinπ，
则-1的5次方根为coc
| π+2kπ |
| 5 |
| π+2kπ |
| 5 |
当k=0时为ω，当k=1时为ω3，当k=3时为ω7，当k=4时为ω9，
而x5+1=（x+1）（x4-x3+x2-x+1）=0，
故ω，ω3，ω7，ω9 都是方程x4-x3+x2-x+1=0．
故选B．
点评：本题考查复数三角形式的混合运算，注意ω=cos
+isin
是x5+1=0的一个虚根，是基础题．
| π |
| 5 |
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