题目内容
【题目】已知椭圆
过点
，离心率为
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的上顶点作直线
交抛物线
于
两点， 
为原点.
①求证： 
；
②设
、
分别与椭圆相交于
、
两点，过原点
作直线
的垂线
，垂足为
，证明: 
为定值.
【答案】（1）
；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）根据椭圆过定点以及椭圆的离心率可得
，解得
的值，由椭圆的定义可得
的值，将
的值代入椭圆方程即可得答案；（2）①设过椭圆的上顶点
的直线的
方程为
，与抛物线方程联立，设出
点的坐标，由根与系数的关系分析计算
的值，由向量数量积的性质可得证明；②直线
与抛物线联立，由韦达定理及平面向量数量积公式可得， 
的等量关系，结合点到直线距离公式可得结果.
试题解析：(1) 
，所以
，又
，解得
，
，
所以椭圆的方程为
（2）①证明：设
、
，依题意，直线
一定有斜率
， 的方程为
，
联立方程
消去
得 
，
，又
，
，
②证明：设
、
，直线
的方程为
，
，
，
，联立方程
消去得 
，
，
，
而
由
得
，即
. 所以
为定值.
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