Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,点是椭圆上任意一点, 的周长为.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)过点 (-4,0)任作一动直线交椭圆于两点,记,若在线段上取一点,使得,则当直线转动时,点在某一定直线上运动,求该定直线的方程．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 点在定直线上.

【解析】试题分析: (1)由已知条件求出 的值, 根据 ,求出椭圆的方程; (2)设直线 联立直线与椭圆方程, 求出 的表达式,将 由 表示出来，由,求出 的表达式,化简,求出为定值.

试题解析: (Ⅰ)因为的周长为,

所以,即.

又离心率,解得,

.

所以椭圆的方程为.

(Ⅱ)由题意可知,直线的斜率必存在.

故可设直线的方程为,

由,消去得,

由根与系数的关系得,

由,得

所以.

所以,

设点的坐标为,

由,得,

所以,

解得.

而,

,

所以.

故点在定直线上.

点睛: 本题主要考查了以椭圆为载体,求椭圆标准方程以及椭圆与直线的关系 ,属于中档题. 考点有: 椭圆的标准方程,椭圆的简单几何性质,韦达定理,向量坐标运算等等. 考查学生的逻辑思维能力,运算求解能力.