Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂．点P（a，b）满足|PF₂|=|F₁F₂|．
（Ⅰ）求椭圆的离心率e；
（Ⅱ）设直线PF₂与椭圆相交于A，B两点，若直线PF₂与圆（x+1）²+(y-

3

)2=16相交于M，N两点，且|MN|=

5

8

|AB|，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用|PF₂|=|F₁F₂|，对应的方程整理后即可求椭圆的离心率e；
（Ⅱ）先把直线PF₂与椭圆方程联立求出A，B两点的坐标以及对应的|AB|两点，进而求出|MN|，再利用弦心距，弦长以及圆心到直线的距离之间的等量关系，即可求椭圆的方程．

解答：解：（Ⅰ）设F₁（-c，0），F₂（c，0）    （c＞0）．
由题得|PF₂|=|F₁F₂|，即

(a-c)2+b2

=2c，整理得2(

c

a

)2+

c

a

-1=0，得

c

a

=-1（舍），或

c

a

=

1

2

，
所以e=

1

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2c，b=

3

c，可得椭圆方程为3x²+4y²=12c²，直线方程PF₂为y=

3

（x-c）．
A，B的坐标满足方程组

3x2+4y2=12c2 y= 3 (x-c)

，
消y并整理得5x²-8xc=0，
解得x=0，x=

8

5

c，得方程组的解为

x=0 y=- 3

c，

x= 8 5 c y= 3 3 5 c

，
不妨设A（

8

5

c，

3 3

5

c），B（0，-

3

c）．
所以|AB|=

( 8 5 )2+( 3 3 c 5 + 3 c) 2

=

16

5

c，于是|MN|=

5

8

|AB|=2c．
圆心（-1，

3

）到直线PF₂的距离d=

|- 3 - 3 - 3 c|

2

，
因为d²+(

|MN|

2

)2=4²，所以

3

4

（2+c）²+c²=16，整理得c=-

26

7

（舍）或c=2．
所以椭圆方程为

x2

16

+

y2

12

=1．

点评：本题主要考查椭圆的方程和几何性质，直线的方程，两点间的距离公式以及点到直线的距离公式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．