Question

（2012•即墨市模拟）设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，右焦点为F（c，0），方程ax²+bx-c=0的两个实根分别为x₁和x₂，则点P（x₁，x₂）（　　）

A．必在圆x²+y²=2内

B．必在圆x²+y²=2上

C．必在圆x²+y²=2外

D．以上三种情形都有可能

Answer 1

分析：由题意可求得c=

1

2

a，b=

3

2

a，从而可求得x₁和x₂，利用韦达定理可求得x12+x22的值，从而可判断点P与圆x²+y²=2的关系．

解答：解：∵椭圆的离心率e=

c

a

=

1

2

，
∴c=

1

2

a，b=

a2-c2

=

3

2

a，
∴ax²+bx-c=ax²+

3

2

ax-

1

2

a=0，
∵a≠0，
∴x²+

3

2

x-

1

2

=0，又该方程两个实根分别为x₁和x₂，
∴x₁+x₂=-

3

2

，x₁x₂=-

1

2

，
∴x12+x22=(x1+x2)2-2x₁x₂=

3

4

+1＜2．
∴点P在圆x²+y²=2的内部．
故选A．

点评：本题考查椭圆的简单性质，考查点与圆的位置关系，求得c，b与a的关系是关键，属于中档题．