题目内容
【题目】如图，已知二次函数
的图像与
轴相交于点
、
（点在点的左侧），与
轴相交于点
，连接
、
．
（1）求线段
的长；
（2）若平分
，求
的值；
（3）该函数图象的对称轴上是否存在点
，使得
为等边三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）2；（2）
；（3）存在，
.
【解析】
（1）令
，建立方程
，求出点
坐标，即可得出结论；
（2）先表示出
，进而表示出
，利用勾股定理建立方程求解即可得出结论；
（3）先判断出点
是
的外接圆的圆心，进而得出
，最后用三角函数建立方程求解即可．
（1）∵ 二次函数
的图象与
轴相交于点
、
，
∴令，则，
或
，
，
，
，
故答案为2；
（2）如图，
由（1）知，
，，
，
，
令
，
，
，
，
过点作
，
，
，
，
是
的平分线，
，
，
，
，
，
在
中，根据勾股定理得，
，
，
（舍）或
（舍）或；
（3）存在，
理由：假设存在，如图，
二次函数
，
抛物线对称轴为
，
点是
的垂直平分线上，
是等边三角形，
，
，
点是
的垂直平分线上，
点是的外接圆的圆心，
，
，
，
，
，
，
，
函数图象的对称轴上存在点，使得为等边三角形．
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