Question

12．设数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为S_n和T_n，已知a_n＞0，（a_n+1）²=4（S_n+1），b_nS_n-1=（n+1）²，其中n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n＞0，（a_n+1）²=4（S_n+1），可得n=1时，$（{a}_{1}+1）^{2}$=4（a₁+1），解得a₁．n≥2时，$（{a}_{n-1}+1）^{2}$=4（S_n-1+1），可得：a_n-a_n-1=2，利用等差数列的通项公式可得a_n．
（2）由（1）可得：S_n=n²+2n．又b_nS_n-1=（n+1）²，其中n∈N^*．b_n=1+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵a_n＞0，（a_n+1）²=4（S_n+1），
∴n=1时，$（{a}_{1}+1）^{2}$=4（a₁+1），解得a₁=3．
n≥2时，$（{a}_{n-1}+1）^{2}$=4（S_n-1+1），可得：（a_n+1）²-$（{a}_{n-1}+1）^{2}$=4a_n，
化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∴a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}是等差数列，公差为2．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（2）由（1）可得：S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n²+2n．
又b_nS_n-1=（n+1）²，其中n∈N^*．
∴b_n=$\frac{{n}^{2}+2n+2}{{n}^{2}+2n}$=1+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴数列{b_n}的前项和T_n=n+$（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
=n+$\frac{3}{2}$-$\frac{2n+3}{（n+1）（n+3）}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．