题目内容
已知f′（x）是函数f（x）=x3+ax2+（a-6）x（a∈R）的导函数，若f′（x）满足f′（x+1）=f′（1-x），则以下结论正确的是（ ）
| A、函数f（x）的极大值为0 |
| B、函数f（x）的极小值为5 |
| C、函数f（x）的极大值为27 |
| D、函数f（x）的极小值为-27 |
考点：利用导数研究函数的极值
专题：导数的综合应用
分析：先求出函数的导数，再利用f′（x+1）=f′（1-x），建立等式关系，求出a的值，然后求解函数的极值，解之即可．
解答：
解：对f（x）=x3+ax2+（a-6）x求导，得
f′（x）=3x2+2ax+a-6，
又f′（x+1）=f′（1-x），即f′（x）关于x=1对称，可得
=1，即a=-3，
∴f′（x）=3x2-6x-9，
3x2-6x-9=0，化简得x=3，或x=-1，
令f′（x）＞0得函数的单调增区间为（-∞，-1），（3，+∞）
令f′（x）＜0得函数的单调减区间为（-1，3）
∴函数在x=3时取得极小值为：-27，
函数在x=-1时取得极大值，函数的极大值为6．
故选：D．
f′（x）=3x2+2ax+a-6，
又f′（x+1）=f′（1-x），即f′（x）关于x=1对称，可得
| -2a |
| 3×2 |
∴f′（x）=3x2-6x-9，
3x2-6x-9=0，化简得x=3，或x=-1，
令f′（x）＞0得函数的单调增区间为（-∞，-1），（3，+∞）
令f′（x）＜0得函数的单调减区间为（-1，3）
∴函数在x=3时取得极小值为：-27，
函数在x=-1时取得极大值，函数的极大值为6．
故选：D．
点评：本题考查了导数在求函数极值中的应用，利用导数求函数的单调区间，及导数的运算，考查转化思想以及计算能力．
练习册系列答案
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|
| A、4 | B、6 | C、8 | D、10 |
直线y-kx-1=0（k∈R）与椭圆
+
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| x2 |
| 5 |
| y2 |
| b |
| A、（0，1） |
| B、（0，5） |
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| D、（1，+∞） |
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| B、BC∥平面A′DE | ||
C、三棱锥A′-DEF的体积最大值为
| ||
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