Question

如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x²=4y相切于点A．
（1）求实数b的值；
（11）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．

Answer 1

分析：（I）由

y=x+b x2=4y

，得x²-4x-4b=0，由直线l与抛物线C相切，能求出b．
（II）由b=-1，得x²-4x+4=0，解得x=2，将其代入x²=4y，得y=1，故点A（2，1）．因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆心A到抛物线C的准线y=-1的距离等于圆A的半径r，由此能求出圆A的方程．

解答：解：（I）由

y=x+b x2=4y

，得x²-4x-4b=0，（*）
因为直线l与抛物线C相切，
所以△=（-4）²-4×（-4b）=0，
解得b=-1．…（4分）
（II）由（I）知b=-1，
故方程（*）即为x²-4x+4=0，
解得x=2，将其代入x²=4y，
得y=1，故点A（2，1）．
因为圆A与抛物线C的准线相切，
所以圆心A到抛物线C的准线y=-1的距离等于圆A的半径r，
即r=|1-（-1）|=2，
所以圆A的方程为（x-2）²+（y-1）²=4．…..（12分）

点评：本题考查满足条件的实数值的求法，考查圆的方程的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．