Question

如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x²=4y相切于点A．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．

Answer 1

分析：（I）由

y=x+b x2=4y

，得：x²-4x-4b=0，由直线l与抛物线C相切，知△=（-4）²-4×（-4b）=0，由此能求出实数b的值．
（II）由b=-1，得x²-4x+4=0，解得x=2，代入抛物线方程x²=4y，得点A的坐标为（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离，由此能求出圆A的方程．

解答：解：（I）由

y=x+b x2=4y

，消去y得：x²-4x-4b=0①，
因为直线l与抛物线C相切，
所以△=（-4）²-4×（-4b）=0，
解得b=-1；
（II）由（I）可知b=-1，
把b=-1代入①得：x²-4x+4=0，
解得x=2，代入抛物线方程x²=4y，得y=1，
故点A的坐标为（2，1），
因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离，
即r=|1-（-1）|=2，
所以圆A的方程为：（x-2）²+（y-1）²=4．

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．