Question

如图，直线l：y=(x-2)和双曲线C：=1(a＞0,b＞0)交于A、B两点，|AB|=，又l关于直线l₁:y=x对称的直线l₂与x轴平行.

(1)求双曲线C的离心率；

(2)求双曲线C的方程.

(文)已知公差不为零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n,S_n及通项a_n满足关系式：4S_n=a_n²+αa_n+β(α、β为常数，n∈N₊)，且a₁=-1.

(1)求常数α、β的值；

(2)求数列{a_n}的通项公式.

Answer 1

答案：(理)解:(1)设双曲线一、三象限渐近线l₁:=0的倾斜角为α,

∵l和l₂关于直线l₁对称，记它们交点为P,而l₂与x轴平行，记l₂与y轴交点为Q，

依题意有∠QPO=∠POM=∠OPM=α(锐角).

又AB：y=(x-2),故tan2α=,则，求得tanα=,tanα=-2(舍去).

∴.因此双曲线C的离心率e=.

(2)∵=，故设所求双曲线方程为=1,将y=(x-2)代入x²-4y²=4k²消去y，得=0.

设A(x₁，y₁),B(x₂,y₂)，|AB|=|x₁-x₂|=·

=.

化简得到,求得k²=1.故所求双曲线方程为-y²=1.

(文)解：(1)设等差数列{a_n}的公差d≠0,而a₁=-1,

则a_n=-1+(n-1)d,S_n=na₁+.

代入已知4S_n=a_n²+αa_n+β中整理得到2dn²-(4+2d)n=［nd-(d+1)］²+α［nd-(d+1)］+β.

由待定系数法,可知由①式及d≠0求得d=2.

将d=2代入②式求得α=2，再由③式求得β=-3.因此所求α=2,β=-3.

(2)由(1)求得d=2,又a₁=-1,故a_n=a₁+(n-1)d=2n-3.