Question

【题目】设数列的前n项和为，已知，（）．

（1）求证：数列为等比数列；

（2）若数列满足：，．

① 求数列的通项公式；

② 是否存在正整数n，使得成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）数列为等比数列，首项为1，公比为2．（2），

【解析】

（1）由题设的递推关系式，得到（），即可证得数列为等比数列．

（2）① 由（1）知，，化简得，则数列是首项为1，公差为1的等差数列，即可求得．

②利用乘公比错位相减法，求得，进而得到，显然当 时，上式成立，设，由，所以数列单调递减，进而得到结论.

（1）解：由，得（），

两式相减，得，即（）．

因为，由，得，所以，

所以对任意都成立，

所以数列为等比数列，首项为1，公比为2．

（2）① 由（1）知，，

由，得，

即，即，

因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．

所以，

所以．

② 设，

则，

所以，

两式相减，

得 ，

所以．

由，得，即．

显然当时，上式成立，

设（），即．

因为，

所以数列单调递减，

所以只有唯一解，

所以存在唯一正整数，使得成立．