Question

【题目】已知常数且，在数列中，首项，是其前项和，且，.

（1）设，，证明数列是等比数列，并求出的通项公式；

（2）设，，证明数列是等差数列，并求出的通项公式；

（3）若当且仅当时，数列取到最小值，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，；

（2）证明见解析，；（3）.

【解析】

（1）令，求出的值，再令，由，得出，将两式相减得，再利用等比数列的定义证明为常数，可得出数列为等比数列，并确定等比数列的首项和公比，可求出；

（2）由题意得出，再利用等差数列的定义证明出数列为等差数列，确定等差数列的首项和公差，可求出数列的通项公式；

（3）求出数列的通项公式，由数列在时取最小值，可得出当时，，当时，，再利用参变量分离法可得出实数的取值范围.

（1）当时，有，即，；

当时，由，可得，将上述两式相减得，

，，

且，

所以，数列是以，以为公比的等比数列，；

（2）由（1）知，

，由等差数列的定义得，

且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，

因此，；

（3）由（2）知，，，

由数列在时取最小值，可得出当时，，当时，，

由，得，

得在时恒成立，

由于数列在时单调递减，则，此时，；

由，得，

得在时恒成立，

由于数列在时单调递减，则，此时，.

综上所述：实数的取值范围是.