Question

11．（1）求函数f（x）=$\sqrt{{x^2}+x-1}$+$\frac{1}{{{x^2}-2x+1}}$的定义域；
（2）求函数f（x）=$\frac{{\sqrt{|{x-2}|-1}}}{（x-3）（x-1）}$的定义域；
（3）已知函数y=f（x²-1）定义域是[-1，3]，则y=f（2x+1）的定义域．

Answer 1

分析 （1）（2）分别由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0求解不等式组可得答案；
（3）由函数y=f（x²-1）定义域求得f（x）的定义域，再由2x+1在f（x）的定义域内求得x的范围得答案．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x-1≥0}\\{{x}^{2}-2x+1≠0}\end{array}\right.$，解得$x≤\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，或$x≥\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$且x≠1．
∴函数f（x）=$\sqrt{{x^2}+x-1}$+$\frac{1}{{{x^2}-2x+1}}$的定义域为（-∞，$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$]∪[$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，1）∪（1，+∞）；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{|x-2|-1≥0}\\{（x-3）（x-1）≠0}\end{array}\right.$，解得x＜1或x＞3．
∴函数f（x）=$\frac{{\sqrt{|{x-2}|-1}}}{（x-3）（x-1）}$的定义域为（-∞，1）∪（3，+∞）；
（3）由题意，-1≤x≤3，∴，2≤x-1≤2，故f（x）的定义域为[-2，2]，
∴令-2≤2x+1≤2，解得$-\frac{3}{2}≤x≤\frac{1}{2}$，
故y=f（2x+1）的定义域是[-$\frac{3}{2}，\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查函数的定义域及其求法，考查不等式组的解法，是基础的计算题．