Question

16．已知a≥0，当x为何值时，函数f（x）=（x²-2ax）•e^x取得最小值？并证明你的结论．

Answer 1

分析 直接求两个函数乘积的导函数，令其等于0，求出极值点，判断单调性，进而求出最小值；

解答 证明：令f′（x）=0即[x²-2（a-1）x-2a]e^x=0，
∴x²-2（a-1）x-2a=0
∵△=[2（a-1）]²+8a=4（a²+1）＞0，
∴x₁=a-1-$\sqrt{{a}^{2}+1}$，x₂=a-1+$\sqrt{{a}^{2}+1}$，
又∵当x∈（-∞，a-1-$\sqrt{{a}^{2}+1}$）时，f′（x）＞0；
当x∈（a-1-$\sqrt{{a}^{2}+1}$，a-1+$\sqrt{{a}^{2}+1}$）时，f′（x）＜0；
当x∈（a-1+$\sqrt{{a}^{2}+1}$，+∞）时，f′（x）＞0．
列表如下：

x	（-∞，a-1-$\sqrt{{a}^{2}+1}$）	a-1-$\sqrt{{a}^{2}+1}$	（a-1-$\sqrt{{a}^{2}+1}$，a-1+$\sqrt{{a}^{2}+1}$）	a-1+$\sqrt{{a}^{2}+1}$	（a-1+$\sqrt{{a}^{2}+1}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴x₁，x₂分别为f（x）的极大值与极小值点．
又∵$\underset{lim}{n→∞}$f（x）=0；当x→+∞时，f（x）→+∞．
而f（a-1+$\sqrt{{a}^{2}+1}$）=2（1-$\sqrt{{a}^{2}+1}$）${e}^{a-1+\sqrt{{a}^{2}+1}}$＜0．
∴当x=a-1+$\sqrt{{a}^{2}+1}$时，f（x）取得最小值．

点评 本题考查函数单调性的性质，导数在函数最大值、最小值中的应用，运用转化思想是解决此类题目的关键，属于中档题．