Question

4．设函数f（x）=|x-a|，a∈R．
（1）若a=1，解不等式f（x）≥$\frac{1}{2}$（x+1）；
（2）记函数g（x）=f（x）-|x-2|的值域为A，若A⊆[-1，3]，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=1代入f（x），通过讨论x的范围求出各个区间上的x的范围，取并集即可；（2）通过讨论a的范围，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=|x-1|≥$\frac{1}{2}$（x+1），
x≥1时：x-1≥$\frac{1}{2}$（x+1），解得：x≥3，
x＜1时：1-x≥$\frac{1}{2}$（x+1），解得：x≤$\frac{1}{3}$，
故不等式的解集是{x|x≥3或x≤$\frac{1}{3}$}；
（2）g（x）=|x-a|-|x-2|，
a≥2时：g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-a，x≥a}\\{a+2-2x，2＜x＜a}\\{a-2，x≤2}\end{array}\right.$，
∴2-a≤g（x）≤a-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2-a≥-1}\\{a-2≤3}\end{array}\right.$，解得2≤a≤3；
a＜2时：g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-a，x≥2}\\{2x-a-2，a＜x＜2}\\{a-2，x≤a}\end{array}\right.$，
∴a-2≤g（x）≤2-a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-2≥-1}\\{2-a≤3}\end{array}\right.$，解得：1≤a＜2；
综上：a∈[1，3]．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．