Question

正四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，E为PC中点，则直线AC与截面BDE所成的角为    ．

Answer 1

【答案】分析：先建立空间直角坐标系，求出个点坐标，以及向量的坐标，并计算出截面BDE的法向量的坐标，进而求出＜，＞即可得到结论
法二：直接利用线面角的定义找出线面角，利用定义即可求解
解答：解：建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长=2；
则O（0，0，0），B（，O，0），D（-，0，0），A（0，-，0），C（0，，0），P（0，0，），E（0，，）．
∴=（0，2，0），=（2，0，0），=（-，，）
设截面BDE的法向量为=（x，y，z）；
由⇒⇒=（0，1，-1）；
∴cos＜，＞==；
∴＜，＞=45°．
故直线AC与截面BDE所成的角为90°-45°=45°．
故答案为：45°．
法二：过A做AM⊥平面BDE，垂足为 M，则∠AOM即为直线AC与平面BDE所成的角
设正四棱锥的楞长为2，则=，=2
∴V_E-ABD==
V_A-BDE==
∵V_A-BDE=V_E-ABD
∴AM=1
Rt△AMO中，sin∠AOM===
∴∠AOM=45°
故答案为：45°
点评：本题主要考察直线与平面所成的角．解决本题用到了空间向量，在用空间向量解决此类问题时，一定要先求平面的法向量，进而求出线面角．