Question

4．已知点P是⊙O：x²+y²=9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足$\overrightarrow{DQ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DP}$．
（Ⅰ）求动点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）动点Q的轨迹上存在两点M、N，关于点E（1，1）对称，求直线MN的方程．

Answer 1

分析 （1）设Q（x，y），利用向量的坐标运算，结合在⊙O上即可得到点Q的轨迹方程；
（2）对于存在性问题的解决方法，可假设存在．由条件（1，1）是线段MN的中点，利用中点坐标公式及椭圆的方程式，得到直线MN的斜率值，从而求得直线的方程．结果表明存在．

解答 解：（1）设P（x₀，y₀），Q（x，y），依题意，则点D的坐标为D（x₀，0）（1分）
∴$\overrightarrow{DQ}$=（x-x₀，y），$\overrightarrow{DP}$=（0，y₀）（2分）
又$\overrightarrow{DQ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DP}$，
∴x₀=x，y₀=$\frac{3}{2}$y（4分）
∵P在⊙O上，故x₀²+y₀²=9，
∴$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$（5分）
∴点Q的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$（6分）
（2）假设椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$上存在两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），关于点E（1，1）对称，则E（1，1）是线段MN的中点，且有x₁+x₂=2，y₁+y₂=2
M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）代入椭圆，作差，整理可得k_MN=-$\frac{4}{9}$
∴直线MN的方程为4x+9y-13=0
将直线MN的方程代入椭圆方程检验得：52x²-104x-155=0则△＞0有实根
∴椭圆上存在两点M、N，关于点E（1，1）对称，此时直线MN的方程为4x+9y-13=0（14分）

点评 本题在向量与圆锥曲线交汇处命题，考查了向量的坐标运算、曲线方程的求法、椭圆的定义以及等价转化能力．