Question

3．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0），抛物线C₂：y=$\frac{1}{4}$x²+b，过点F（0，b+1）作x轴的平行线，与抛物线C₂在第一象限的交点为G，且该抛物线在点G处的切线经过坐标原点O，求椭圆C₁的方程．

Answer 1

分析 y=$\frac{1}{4}$x²+b，与y=b+1联立可得G（2，b+1），利用导数的几何意义可得切线的斜率，进而点到过点G的切线方程为y=x+b-1，把（0，0）代入可得b=1即可点到椭圆的方程．

解答 解：y=$\frac{1}{4}$x²+b，当y=b+1，得x=±2，∴G（2，b+1），
由y′=$\frac{1}{2}$x，
∴y′|_x=2=1，
∴过点G的切线方程为y-（b+1）=x-2，即y=x+b-1，
把（0，0）代入可得b=1．
即椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、利用导数研究切线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．