Question

椭圆上有n个不同的点P₁，P₂，…，P_n，椭圆的右焦点为F，数列{|P_nF|}是公差大于的等差数列，则n的最大值是（ ）
A．2000
B．2001
C．2003
D．2005

Answer 1

【答案】分析：设P（x_n，y_n），P到右准线的距离为d_n，由圆锥曲线的统一定义算出|P_nF|=2-x_n，结合题意数列{|P_nF|}是公差大于的等差数列，得出关于横坐标x₁、x_n的不等式，再利用椭圆上点的横坐标范围，解之即可得到n的取值范围，从而得出n的最大值．
解答：解：求得椭圆的a=2，b=，c=1
右焦点为F（1，0），离心率e=
设P（x_n，y_n），P到右准线x=4的距离为d_n，
根据圆锥曲线的统一定义，得=e=
∴|P_nF|=d_n=（4-x_n）=2-x_n，
∵数列{|P_nF|}是公差大于的等差数列，
∴|P_nF|-|P₁F|，可得x₁-x_n
化简得x₁-x_n＞，
结合椭圆上点的横坐标的范围，得x₁-x_n＜2a=4
∴，得n＜2001，得n的最大值为2000
故选：A
点评：本题给出椭圆上的n个点，在焦半径成公差大于的等差数列情况下，求n的最大值．着重考查了椭圆的几何性质、等差数列的通项公式等知识，属于中档题．