Question

【题目】知函数.

（1）讨论函数的极值；

（2）若函数在上恰有两个零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）答案见解析.（2）.

【解析】

（1）求出，以解的个数以及解的大小关系为分类标准，对进行讨论，求出的解，得到单调区间，进而求出极值；

（2）问题转化为函数与函数的图像恰有两个交点，根据（1）中的结论，确定与极值的关系，即可求出结论.

（1），

①当时，令，

时，，单调递减；

时，，单调递增；

所以有极小值，无极大值；

②当时，令或，

(ⅰ)时，时，，单调递减；时，，单调递增；

时，，单调递减；

所以有极小值，

有极大值；

(ⅱ)时，时，，单调递减；

时，，单调递增；

时，，单调避减；

所以有极小值，有极大值；

(ⅲ)当时，，在上单调递减，无极值.

（2）若函数在上恰有两个零点，

即函数与函数的图像恰有两个交点，由（1）知，

①当时，

只须满足，所以；

②当时，

(ⅰ)时，结合（1）知，时，单调递减，，

只须满足或，

解得或(舍)或；

(ⅱ)时，结合（1）知只须满足或，

解得(舍)或或(舍)；

综上，的取值范围为.