题目内容
在三棱锥P-ABC中，三侧棱两两垂直，且PB=PC=2PA，PO垂直于面ABC，O是垂足，如果设
=
，
=
，
=
，请用
、
、
表示
：
+
+
+
+
．
| PA |
| a |
| PB |
| b |
| PC |
| c |
| a |
| b |
| c |
| P0 |
| 2 |
| 3 |
| a |
| 1 |
| 6 |
| b |
| 1 |
| 6 |
| c |
| 2 |
| 3 |
| a |
| 1 |
| 6 |
| b |
| 1 |
| 6 |
| c |
分析：根据条件可知O是△ABC的垂心，利用三棱锥的体积计算公式求出PO的长度，从而求得AO与AD的关系，进而利用空间向量基本定理即可求得结果．
解答：
解：不妨设：PA=1，则PB=PC=2，
∵三侧棱两两垂直，
∴VP-ABC=
×
×1×2×2=
，
AB=AC=
，BC=2
，
∵PO垂直于面ABC，O是垂足，三侧棱两两垂直，
∴O是△ABC的垂心，
连接AO交BC于D，则D为BC的中点，
AD=
，∴S△ABC=
×2
×
=
，
AO=
=
=
，
∴AO=
AD，
∴
=
+
=
+
=
+
×
(
+
)
=
+
(
-
+
-
)=
+
+
故答案为：
+
+
解：不妨设：PA=1，则PB=PC=2，∵三侧棱两两垂直，
∴VP-ABC=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
AB=AC=
| 5 |
| 2 |
∵PO垂直于面ABC，O是垂足，三侧棱两两垂直，
∴O是△ABC的垂心，
连接AO交BC于D，则D为BC的中点，
AD=
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 6 |
AO=
| 3VP-ABC |
| S△ABC |
| 2 | ||
|
| ||
| 3 |
∴AO=
| 1 |
| 3 |
∴
| P0 |
| PA |
| AO |
| PA |
| 1 |
| 3 |
| AD |
=
| PA |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| AC |
=
| PA |
| 1 |
| 6 |
| PB |
| PA |
| PC |
| PA |
| 2 |
| 3 |
| a |
| 1 |
| 6 |
| b |
| 1 |
| 6 |
| c |
故答案为：
| 2 |
| 3 |
| a |
| 1 |
| 6 |
| b |
| 1 |
| 6 |
| c |
点评：本题考查三棱锥的体积运算和空间向量基本定理，求得点O是△ABC的垂心以及AO=
AD，是解题的关键，属中档题．
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练习册系列答案
相关题目
如图，在三棱锥P-ABC中，
在三棱锥P-ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，PA=1 面PAB⊥面CAB，面PAC⊥面CAB，则三棱锥P-ABC的体积是（ ）
在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC．
（2013•蚌埠二模）如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．