题目内容

(2013•蚌埠二模)如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AB=2,BC=3,∠ABC=90°,平面PAB⊥平面ABC,D,E分别为AB,AC中点.
(I)求证:DE∥面PBC;
(II)求证:AB⊥PE;
(III)求三棱锥B-PEC的体积.
分析:(I)根据三角形中位线定理,证出DE∥BC,再由线面平行判定定理即可证出DE∥面PBC;
(II)连结PD,由等腰三角形“三线合一”,证出PD⊥AB,结合DE⊥AB证出AB⊥平面PDE,由此可得AB⊥PE;
(III)由面面垂直性质定理,证出PD⊥平面ABC,得PD是三棱锥P-BEC的高.结合题中数据算出PD=
3
且S△BEC=
3
2
,利用锥体体积公式求出三棱锥P-BEC的体积,即得三棱锥B-PEC的体积.
解答:解:(I)∵△ABC中,D、E分别为AB、AC中点,∴DE∥BC
∵DE?面PBC且BC?面PBC,∴DE∥面PBC;
(II)连结PD
∵PA=PB,D为AB中点,∴PD⊥AB
∵DE∥BC,BC⊥AB,∴DE⊥AB,
又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线,∴AB⊥平面PDE
∵PE?平面PDE,∴AB⊥PE;
(III)∵PD⊥AB,平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB
∴PD⊥平面ABC,可得PD是三棱锥P-BEC的高
又∵PD=
3
,S△BEC=
1
2
S△ABC=
3
2

∴三棱锥B-PEC的体积V=VP-BEC=
1
3
S△BEC×PD=
3
2
点评:本题在三棱锥中求证线面平行、线线垂直,并求锥体的体积.着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识,属于中档题.
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