题目内容
在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC.(1)若∠BAC=
π | 3 |
(2)求证:“∠PBC=90°”的充要条件是“平面PBC⊥平面PAB”.
分析:(1)取AC的中点O,连接EO,FO.由三角形中位线定理及线面垂直的性质,结合PA⊥平面ABC,可得FO⊥EO,进而判断出△ABC是等边三角形,由O,E分别为线段AC,AB的中点,解三角形EOF,即可得到答案.
(2)结合已知条件,先证明若∠PBC=90°,则平面PBC⊥平面PAB,即必要性,再证明若平面PBC⊥平面PAB,则∠PBC=90°,即充分性,即可得到:“∠PBC=90°”的充要条件是“平面PBC⊥平面PAB”.
(2)结合已知条件,先证明若∠PBC=90°,则平面PBC⊥平面PAB,即必要性,再证明若平面PBC⊥平面PAB,则∠PBC=90°,即充分性,即可得到:“∠PBC=90°”的充要条件是“平面PBC⊥平面PAB”.
解答:解:(1)取AC的中点O,连接EO,FO.
因为F为棱的中点,所以FO∥PA,且FO=
PA=1,
因为PA⊥平面ABC,EO?平面ABC,所以PA⊥EO
所以FO⊥EO.----------(3分)
因为∠BAC=
,AB=AC=2,所以△ABC是边长为2的等边三角形.
所以BC=2,因为O,E分别为线段AC,AB的中点,
所以EO=
BC=1.----------(5分)
因此在直角三角形EOF中,EF=
=
.----------(6分)
证明:(2)(必要性,即先证明命题“若∠PBC=90°,则平面PBC⊥平面PAB”为真命题.)
因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC.
又因为∠PBC=90°,即PB⊥BC,PA∩PB=P,所以BC⊥平面PAB.
又因为BC?平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAB.----------(10分)
(充分性,即证明命题“若平面PBC⊥平面PAB,则∠PBC=90°”为真命题.)
在平面PAB内,过A作AD⊥BC,D为垂足.
因为平面PBC⊥平面PAB,平面PBC∩平面PAB=PB.
所以AD⊥平面PBC,所以AD⊥BC.
因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC.
又AD,PA?平面PAB,PA∩AD=A,所以BC⊥平面PAB.
所以BC⊥PB,即∠PBC=90°
综上,“∠PBC=90°”的充要条件是“平面PBC⊥平面PAB”.-------(14分)
因为F为棱的中点,所以FO∥PA,且FO=
1 |
2 |
因为PA⊥平面ABC,EO?平面ABC,所以PA⊥EO
所以FO⊥EO.----------(3分)
因为∠BAC=
π |
3 |
所以BC=2,因为O,E分别为线段AC,AB的中点,
所以EO=
1 |
2 |
因此在直角三角形EOF中,EF=
OE2+OF2 |
2 |
证明:(2)(必要性,即先证明命题“若∠PBC=90°,则平面PBC⊥平面PAB”为真命题.)
因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC.
又因为∠PBC=90°,即PB⊥BC,PA∩PB=P,所以BC⊥平面PAB.
又因为BC?平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAB.----------(10分)
(充分性,即证明命题“若平面PBC⊥平面PAB,则∠PBC=90°”为真命题.)
在平面PAB内,过A作AD⊥BC,D为垂足.
因为平面PBC⊥平面PAB,平面PBC∩平面PAB=PB.
所以AD⊥平面PBC,所以AD⊥BC.
因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC.
又AD,PA?平面PAB,PA∩AD=A,所以BC⊥平面PAB.
所以BC⊥PB,即∠PBC=90°
综上,“∠PBC=90°”的充要条件是“平面PBC⊥平面PAB”.-------(14分)
点评:本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定,必要条件、充分条件与充要条件的判断,其中证明充要条件的步骤,即先证明必要性,再证明充分性,进而综合证明结果得到结论,一定要熟练掌握.
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