Question

19．设数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1，则数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}的前n项和S_n等于3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 通过数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1可知$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，利用S_n=1•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$与$\frac{1}{2}$S_n=1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+3•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（2n-3）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$错位相减、计算即得结论．

解答 解：∵数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
∴S_n=1•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$S_n=1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+3•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（2n-3）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
错位相减得：$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+2（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}$+1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{3}{2}$-（2n+3）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$，
故答案为：3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的求和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．