Question

己知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）求过双曲线左焦点F₁，倾斜角为的直线被双曲线所截得的弦长．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用双曲线离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为，建立方程组，求出几何量，即可求双曲线的方程；
（2）设出直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理，即可求弦长．
解答：解：（1）由题设，得，解得a²=3，b²=1        
∴双曲线的方程为=1．…3分
（2）由（1）知过F₁的直线方程是y=x+2，与联立消去y，得2x²+12x+15=0．
∴x₁+x₂=-6，x₁x₂=．
∴弦长=．…12分．
点评：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．