题目内容
己知双曲线的方程为x2-
=1,直线m的方程为x=
,过双曲线的右焦点F的直线l与双曲线的右支相交于P、Q,以PQ为直径的圆与直线m相交于M、N,记劣弧
的长度为n,则
的值为( )
y2 |
3 |
1 |
2 |
MN |
n |
|PQ| |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
分析:由直角梯形的中位线性质可得:d=
,再利用双曲线的第二定义可得r=d1+d2,即可得到∠MEN=
,即可根据弧长公式得到弧长,进而得到答案.
d1+d2 |
2 |
2π |
3 |
解答:解:设P、Q到右准线的距离分别等于 d1、d2,AB的中点为E,E到右准线的距离等于d,并且圆的半径等于r=
,
由直角梯形的中位线性质可得:d=
,
再根据双曲线的第二定义可得:
=e=2,
=e=2,
所以|PF|+|QF|=2(d1+d2)=2r,
所以r=d1+d2,
即可得到r=2d,
所以∠MEN=
,则有
的长度为n=
,
所以
=
=
.
故选C.
|PQ| |
2 |
由直角梯形的中位线性质可得:d=
d1+d2 |
2 |
再根据双曲线的第二定义可得:
|PF| |
d1 |
|QF| |
d2 |
所以|PF|+|QF|=2(d1+d2)=2r,
所以r=d1+d2,
即可得到r=2d,
所以∠MEN=
2π |
3 |
MN |
2πr |
3 |
所以
n |
|PQ| |
| ||
2r |
π |
3 |
故选C.
点评:本题考查双曲线的第二定义和标准方程,以及双曲线的简单性质的应用与圆的有关性质及其应用.
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