Question

△ABC中，AB=AC=2，BC边上有2010个不同点P_n，记a_n=

APN

2+

BPN

•

pnC

（n=1，2，A₂₀₁₀），则a₁+a₂+…+a₂₀₁₀等于（　　）

A．2010

B．8040

C．4020

D．1005

Answer 1

分析：首先过△ABC顶点A作BC边上的高AD，由已知得BD=CD，再由两个直角三角形运用勾股定理推出即a₁=

AP 1

²+

BP 1

•

P1C

=

AP 1

 2+PB₁•P₁C=AB²=4，同理同理：a₂=4，a₃=4，…，a_n=4，从而求解．

解答：解：过△ABC顶点A作BC边上的高AD，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
在Rt△ADP₁中，由勾股定理得：
AP₁²=AD²+P₁D²，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD²=AB²-BD²，
所以AP₁²+

BP 1

•

P1C

=

AP 1

 2+P1B•P1C
=AD²+P₁D²+P₁B•P₁C
=（AB²-BD²）+P₁D²+P₁B•P₁C
=AB²-BD²+P₁D²+（BD-P₁D）（CD-P₁D）
=AB²-BD²+P₁D²+（BD-P₁D）（BD+P₁D）
=AB²-BD²+P₁D²+BD²-P₁D²
=AB²=4．
即a₁=4，
同理：a₂=4，a₃=4，…，a_n=4，
所以a₁+a₂+…+a₂₀₁₀=4×2010=8040．
故选B．

点评：此题考查的知识点是勾股定理以及数列与向量的综合，关键是由已知等腰三角形作底边的高，得两直角三角形，运用勾股定理及等腰三角形的性质推出a₁=

AP 1

²+

BP 1

•

P1C

=

AP 1

 2+PB₁•P₁C=AB²=4．