题目内容
已知向量
=(cosx，sinx)，
=(6sinx，6cosx)，f(x)=
•(
-
)．
（Ⅰ）若x∈[0，
]，求函数f（x）单调递减区间和值域；
（Ⅱ）在△ABC中，
=
，
=
．若f（x）=2，求△ABC的面积．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
（Ⅰ）若x∈[0，
| π |
| 2 |
（Ⅱ）在△ABC中，
| AB |
| a |
| AC |
| b |
分析：（Ⅰ）先求出
-
，进而化简f(x)=
•(
-
)=6sin2x-1，再利用正弦函数的定义域和值域、周期性，求得结果．
（Ⅱ）由条件求得cos＜
，
＞=
，所以＜
，
＞=
，根据S△ABC=
|
||
|sin＜
，
＞求得结果．
| b |
| a |
| a |
| b |
| a |
（Ⅱ）由条件求得cos＜
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| a |
| b |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| a |
| b |
| a |
| b |
解答：解：（Ⅰ）因为
-
=(6sinx-cosx，6cosx-sinx)，
所以f（x）=
•(
-
)=cosx(6sinx-cosx)+sinx(6cosx-sinx)=12sinxcosx-1=6sin2x-1．
由x∈[0，
]得，2x∈[0，π]，所以函数sin2x的递减区间为[
，
]，且sin2x∈[0，1]．
所以，函数f（x）的单调递减区间为[
，
]，值域为[-1，5]．-------（6分）
（Ⅱ）由
•(
-
)=2得
•
-(
)2=2
因为|
|=1，|
|=6，
•
=|
||
|cos＜
，
＞，
所以有6cos＜
，
＞-1=2，即得cos＜
，
＞=
．------------（9分）
所以＜
，
＞=
，
因此，S△ABC=
|
||
|sin＜
，
＞=
．-------（12分）
| b |
| a |
所以f（x）=
| a |
| b |
| a |
由x∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
所以，函数f（x）的单调递减区间为[
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
（Ⅱ）由
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| a |
因为|
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
所以有6cos＜
| a |
| b |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
所以＜
| a |
| b |
| π |
| 3 |
因此，S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| a |
| b |
| a |
| b |
3
| ||
| 2 |
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积的定义和数量积公式，正弦函数的定义域和值域、周期性，属于中档题．
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