题目内容
已知x1,x2,x3,x4为实数,且x1+x2+x3+x4=6,x12+x22+x32+x42=12,求证:0≤xi≤3,i=1,2,3,4.
证明：由柯西不等式,得
(x2+x3+x4)2≤(1+1+1)(x22+x32+x42),
又∵x2+x3+x4=6-x1,x22+x32+x42=12-x12,
代入上式得(6-x1)2≤3(12-x12),
于是36-12x1+x12≤36-3x12,
于是4x12-12x1≤0,
从而x1(x1-3)≤0.故0≤x1≤3.
同理可证0≤xi≤3,i=2,3,4.
故0≤xi≤3,i=1,2,3,4.
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