题目内容

已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆x²+y²-10x+20=0相切．过点P（-4，0）作斜率为 $数学公式$ 的直线l，使得l和G交于A，B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满足|PA|•|PB|=|PC|²．
（1）求双曲线G的渐近线的方程；
（2）求双曲线G的方程；
（3）椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴、如果S中垂直于l的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分AB，若P（x，y）（y＞0）为椭圆上一点，求当△ABP的面积最大时点P的坐标．

解：（1）设双曲线G的渐近线的方程为y=kx，
则由渐近线与圆x²+y²-10x+20=0相切可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
所以k=± $\text{[math]}$ ，即双曲线G的渐近线的方程为y=± $\text{[math]}$ x．（3分）
（2）由（1）可设双曲线G的方程为x²-4y²=m，
把直线l的方程y= $\text{[math]}$ （x+4）代入双曲线方程，
整理得3x²-8x-16-4m=0，
则x_A+x_B= $\text{[math]}$ ，x_Ax_B=- $\text{[math]}$ ．（*）
∵|PA|•|PB|=|PC|²，P、A、B、C共线且P在线段AB上，
∴（x_P-x_A）（x_B-x_P）=（x_P-x_C）²，即（x_B+4）（-4-x_A）=16，
整理得4（x_A+x_B）+x_Ax_B+32=0．将（*）代入上式得m=28，
∴双曲线的方程为 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1．（7分）
（3）由题可设椭圆S的方程为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞2 $\text{[math]}$ ），
设垂直于l的平行弦的两端点分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点为P（x₀，y₀），
则 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1， $\text{[math]}$ =1，
两式作差得 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =0，
由于 $\text{[math]}$ =-4，x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，所以 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =0，
所以，垂直于l的平行弦中点的轨迹为直线 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =0截在椭圆S内的部分．
又由已知，这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即a²=56，
故椭圆S的方程为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（12分）
由题意知满足条件的P点必为平行于AB且与椭圆相切的直线m在椭圆上的切点，
易得切线m的方程为y= $\text{[math]}$ ，解得切点坐标x= $\text{[math]}$ ，y= $\text{[math]}$ ，
则P点的坐标为（ $\text{[math]}$ ）．（14分）
分析：（1）设双曲线G的渐近线的方程为y=kx，则由渐近线与圆x²+y²-10x+20=0相切可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此能求出双曲线G的渐近线的方程．
（2）设双曲线G的方程为x²-4y²=m，把直线l的方程y= $\text{[math]}$ （x+4）代入双曲线方程，得3x²-8x-16-4m=0，则x_A+x_B= $\text{[math]}$ ，x_Ax_B=- $\text{[math]}$ ．由|PA|•|PB|=|PC|²，P、A、B、C共线且P在线段AB上，知4（x_A+x_B）+x_Ax_B+32=0．由此能求出双曲线的方程．
（3）设椭圆S的方程为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞2 $\text{[math]}$ ），设垂直于l的平行弦的两端点分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点为P（x₀，y₀），则 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1， $\text{[math]}$ =1，两式作差得 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =0．由此入手能够求出P点的坐标．
点评：本题考查双曲线渐近线方程的求法，考查双曲线方程的求法，查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．