题目内容
.已知双曲线G的中心在原点,它的渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切.过点P(-4,0)作斜率为的直线,使得
和G交于A,B两点,和y轴交于点C,并且点P在线段AB上,又满足|PA|·|PB|=|PC|2.
(1)求双曲线G的渐近线的方程;
(2)求双曲线G的方程;
(3)椭圆S的中心在原点,它的短轴是G的实轴.如果S中垂直于的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分AB,若P(x,y)(y>0)为椭圆上一点,求当
的面积最大时点P的坐标.
解:(1)设双曲线G的渐近线的方程为y=kx,
则由渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切可得
所以k=±,即双曲线G的渐近线的方程为y=±
x. ………………… 3分
(2)由(1)可设双曲线G的方程为x2-4y2=m,
把直线的方程y=
(x+4)代入双曲线方程,
整理得3x2-8x-16-4m=0,
则xA+xB=,xAxB=-
.(*)
∵|PA|·|PB|=|PC|2,P、A、B、C共线且P在线段AB上,
∴(xP-xA)(xB-xP)=(xP-xC)2,即(xB+4)(-4-xA)=16,
整理得4(xA+xB)+xAxB+32=0.将(*)代入上式得m=28,
∴双曲线的方程为
………………… 7分
(3)由题可设椭圆S的方程为 (a>2
),
设垂直于的平行弦的两端点分别为M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为P(x0,y0),
易得切线m的方程为,解得切点坐标
,
则P点的坐标为 ………………… 14分
【解析】略