Question

13．利用数学归纳法证明$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$＜1（n∈N^*，且n≥2）时，第二步由k到k+1时不等式左端的变化是（　　）

• A． 增加了$\frac{1}{2k+1}$这一项
• B． 增加了$\frac{1}{2k+1}$和$\frac{1}{2k+2}$两项
• C． 增加了$\frac{1}{2k+1}$和$\frac{1}{2k+2}$两项，同时减少了$\frac{1}{k}$这一项
• D． 以上都不对

Answer 1

分析 当n=k时，写出左端，并当n=k+1时，写出左端，两者比较，关键是最后一项和增加的第一项的关系．

解答 解：当n=k时，左端=$\frac{1}{k}$+$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{2k}$，
那么当n=k+1时  左端=$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{2k}$+$\frac{1}{2k+1}$+$\frac{1}{2k+2}$，
故第二步由k到k+1时不等式左端的变化是增加了$\frac{1}{2k+1}$和$\frac{1}{2k+2}$两项，同时减少了$\frac{1}{k}$这一项，
故选：C．

点评 本题考查数学归纳法证明，其中关键一步就是从k到k+1，是学习中的难点，也是学习中重点，解答过程中关键是注意最后一项与增添的第一项．