题目内容
已知
，其中
是自然常数，
⑴当
时, 讨论
的单调性、极值；
⑵求证：在（1）的条件下，
；
⑶是否存在实数
，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
解：（1）
，
…………………… 1分
∴当x∈(0，1)时，
，此时单调递减；
当x∈(1，e)时，
，此时单调递增。 …………………… 3分
∴的极小值为
…………………… 4分
（2）的极小值为1，即在
上的最小值为1，
∴ 
，
令
，
， ……………………… 6分
当
时，
，
在上单调递增
∴
……………………… 9分
∴在（1）的条件下， ……………………… 10分
（3）假设存在实数，使
（
）有最小值3，
① 当
时，在上单调递减，
，
（舍去），所以，此时无最小值. ……………………… 12分
②当
时，在
上单调递减，在
上单调递增
，
，满足条件. ……………………… 14分
③ 当
时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.
综上，存在实数，使得当时有最小值3 ………………… 16分
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的单调性、极值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
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[
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;
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