Question

（本小题满分14分）

已知，其中是自然常数，

（1）讨论时, 的单调性、极值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（2）求证：在（1）的条件下，；

（3）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

解析：（1），   ……1分

∴当时，，此时单调递减w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      

当时，，此时单调递增   …………3分 

∴的极小值为 ……4分

（2）的极小值为1，即在上的最小值为1，

∴ ，……5分

令，，  …………6分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

当时，，在上单调递增  ………7分

∴ 

∴在（1）的条件下，……………………………9分

（3）假设存在实数，使（）有最小值3， 

① 当时，，所以 ，

所以在上单调递减，

，（舍去），

所以，此时无最小值.  ……10分 

②当时，在上单调递减，在上单调递增

，，满足条件.  ……11分

③ 当时，，所以，

所以在上单调递减，，（舍去），

所以，此时无最小值.

综上，存在实数，使得当时有最小值3.……14分w.w.w.k.s.5.u