Question

已知，其中是自然常数，

（Ⅰ）当时, 研究的单调性与极值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证： ；

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的极小值为；（Ⅱ）。

【解析】

试题分析：（1）因为，，那么求解导数的正负，得到单调性的求解。

（2） 的极小值为1，即在上的最小值为1，

∴ ，，构造函数令，确定出最大值。比较大小得到。

解：（Ⅰ），   ……2分

∴当时，，此时单调递减

当时，，此时单调递增   …………4分 

∴的极小值为                         ……6分

（Ⅱ）的极小值为1，即在上的最小值为1，

∴ ，……5分

令，，  …………8分

当时，，在上单调递增  ………9分

∴     ………11分

∴在（1）的条件下，……………………………12分

考点：本题主要考查了导数在研究函数中的运用。

点评：解决该试题的关键是利用导数的正负判定函数单调性，和导数为零点的左右符号的正负，进而得到函数极值，进而求解最值。