Question

1．已知函数f₀（x）=x（sinx+cosx），设f_n（x）是f_n-1（x）的导数，n∈N^*．
（1）求f₁（x），f₂（x）的表达式；
（2）写出f_n（x）的表达式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）根据导数的运算法则求导即可，
（2）先利用诱导公式，猜想猜想f_n（x）=（x+n）sin（x+$\frac{nπ}{2}$）+（x-n）cos（x+$\frac{nπ}{2}$）（*），再根据数学归纳法证明即可．

解答 解：（1）f₁（x）=f₀′（x）=（sinx+cosx）+x（cosx-sinx）=（x-1）sin（-x）+（x+1）cosx，
f₂（x）=f₁′（x）=-sinx+（1-x）cosx+cosx-（1+x）sinx=-（2+x）sinx-（x-2）cosx，
（2）由（1）得f₃（x）=f₂′（x）=-（3+x）cosx+（x-3）sinx，
把f₁（x），f₂（x），f₃（x），
f₁（x）=（x+1）sin（x+$\frac{π}{2}$）+（x-1）cos（x+$\frac{π}{2}$），
f₂（x）=（x+2）sin（x+$\frac{2π}{2}$）+（x-2）cos（x+$\frac{2π}{2}$），
f₃（x）=（x+3）sin（x+$\frac{3π}{2}$）+（x-3）cos（x+$\frac{3π}{2}$），
猜想f_n（x）=（x+n）sin（x+$\frac{nπ}{2}$）+（x-n）cos（x+$\frac{nπ}{2}$）（*），
下面用数学归纳法证明上述等式，
①当n=1时，由（1）可知，等式（*）成立，
②假设当n=k时，等式（*）成立，即f_k（x）=（x+k）sin（x+$\frac{kπ}{2}$）+（x-k）cos（x+$\frac{kπ}{2}$），
则当n=k+1时，f_k+1（x）=f_k′（x）=sin（x+$\frac{kπ}{2}$）+（x+k）cosx+$\frac{kπ}{2}$）+cos（x+$\frac{kπ}{2}$）+（x-k）[-sin（x+$\frac{kπ}{2}$）]，
=（x+k+1）cos（x+$\frac{kπ}{2}$）+[x-（k+1）][-sin（x+$\frac{kπ}{2}$）]，
=（x+k+1）sin（x+$\frac{k+1}{2}$π）+[x-（k+1）]cos（x+$\frac{k+1}{2}$π），
即当n=k+1时，等式（*）成立
综上所述，当n∈N^*，f_n（x）=（x+n）sin（x+$\frac{nπ}{2}$）+（x-n）cos（x+$\frac{nπ}{2}$）成立．

点评 本题考查了导数的运算和诱导公式，以及数学归纳法，关键是利用诱导公式猜想出结论，属于难题．