题目内容
已知椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，点
、
分别是椭圆的左、右焦点，在椭圆的右准线上的点
，满足线段
的中垂线过点，直线
：
为动直线，且直线与椭圆交于不同的两点
、
。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若在椭圆上存在点
，满足
（
为坐标原点），求实数
的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当取何值时，
的面积最大，并求出这个最大值．
解：（Ⅰ）设椭圆
的方程为
，半焦距为
，依题意有
解得
．
所求椭圆方程为
．
（Ⅱ）由
，得
．
设点
、
的坐标分别为
、
，则
．
（1）当
时，点、关于原点对称，则
．
（2）当
时，点、不关于原点对称，则
，
由
，得
即
点
在椭圆上，有
，
化简，得
．
，有
．………………①
又
，
由
，得
．……………………………②
将①、②两式，得
．
，
，则
且．
综合（1）、（2）两种情况，得实数
的取值范围是．
（Ⅲ）
，点
到直线
的距离
，
的面积
．
由①有
，代入上式并化简，得
．
，
．
当且仅当
，即
时，等号成立．
当时，
的面积最大，最大值为
．
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