Question

18．函数f（x）=sin3x，满足$\frac{f（{x}_{i}）}{{x}_{i}}$=m，其中x_i∈[-2π，2π]，i=1，2，…n，n∈N^*，则n的最大值为12．

Answer 1

分析 由条件利用正弦函数的图象的特征，直线的斜率公式，求得n的最大值．

解答 解：函数f（x）=sin3x，满足$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=m，其中x_i∈[-2π，2π]，i=1，2，…n，n∈N^*，
可得图象上的点（x_i，f（x₁））与原点连线的斜率为定值m，
故当n最大时，m=0，点（x_i，f（x_i））为f（x）的图象与x轴的交点（原点除外）．
∵函数f（x）=sin3x的周期为$\frac{2π}{3}$，故[-2π，2π]包含6个周期，故满足$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=m的点（x_i，f（x_i））共有12个，
则n的最大值为12，
故答案为：12．

点评 本题主要考查正弦函数的图象的特征，直线的斜率公式，属于基础题．