Question

16．在△ABC中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，D，E分别是边AB，AC上的点，且AD=CE=x，设四边形BDEC的面积为S，周长为c．
（1）分别写出S，c关于x的函数解析式，并指出它们的定义域；
（2）分别求S，c的最小值及取最小值时相应x的值；
（3）设BC的中点为F，问：是否存在x值，使△DEF的面积恰为△ABC面积的$\frac{1}{4}$？若存在，求出x值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由S=S_△ABC-S_△ADE，运用三角形的面积公式计算可得，再由勾股定理，可得周长c的解析式和定义域；
（2）运用二次函数的最值的求法，配方即可得到最值；
（3）假设存在x值，使△DEF的面积恰为△ABC面积的$\frac{1}{4}$．由S_△DEF=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{3}{2}$，又S_△DEF=S_△ABC-S_△ADE-S_△BDF-S_△CEF，化简整理，可得2x²-7x+6=0，解方程即可得到所求x．

解答 解：（1）S=S_△ABC-S_△ADE=$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$x（4-x）=6-$\frac{1}{2}$x（4-x），定义域为（0，4）；
c=$\sqrt{{x}^{2}+（4-x）^{2}}$+3-x+x+5=8+$\sqrt{{x}^{2}+（4-x）^{2}}$，定义域为（0，4）；
（2）由x（4-x）=-（x-2）²+4，当x=2时，取得等号．
即有S的最小值为6-$\frac{1}{2}$×4=4；
由x²+（4-x）²=2x²-8x+16=2（x-2）²+8，当x=2时，取得最小值8，
即有c的最小值为8+2$\sqrt{2}$；
（3）假设存在x值，使△DEF的面积恰为△ABC面积的$\frac{1}{4}$．
即有S_△DEF=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{3}{2}$，
又S_△DEF=S_△ABC-S_△ADE-S_△BDF-S_△CEF
=$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$x（4-x）-$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{5}$×$\frac{5}{2}$（3-x）-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{5}{2}$x=$\frac{3}{2}$，
化简可得2x²-7x+6=0，
解得x=2或$\frac{3}{2}$．
故存在x=2或$\frac{3}{2}$，使△DEF的面积恰为△ABC面积的$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用二次函数的性质，考查三角形的面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．