Question

13．已知集合A={x|2x²-5x-3≤0}，B={x|sin2x+$\sqrt{3}$cos2x-1≥0}．
（1）若（a²-2a）∈（∁_RA）．求实数a的取值范围；
（2）求A∩B．

Answer 1

分析 解二次不等式求出A，解三角不等式求出B，进而根据集合交，并，补集运算的定义，可得答案．

解答 解：（1）∵集合A={x|2x²-5x-3≤0}=[-$\frac{1}{2}$，3]，
故∁_RA=（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（3，+∞），
若（a²-2a）∈（∁_RA）．
则a²-2a＜-$\frac{1}{2}$，或a²-2a＞3，
解得：a∈（-∞，-1）∪（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）∪（3，+∞），
（2）∵B={x|sin2x+$\sqrt{3}$cos2x-1≥0}={x|2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-1≥0}={x|sin（2x+$\frac{π}{3}$）≥$\frac{1}{2}$}={x|$\frac{π}{6}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{5π}{6}$+2kπ，k∈Z}={x|-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z}，
∴A∩B=[-$\frac{1}{2}$，$\frac{π}{4}$]∪[$\frac{5π}{6}$，3]

点评 本题考查的知识点是集合交集，并集，补集运算，难度不大，属于中档题．